a.

\(\sqrt{2}sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=3sinx+cosx+2\)

\(\Leftrightarrow sin2x+cos2x=3sinx+cosx+2\)

\(\Leftrightarrow2sinx.cosx-3sinx+2cos^2x-cosx-3=0\)

\(\Leftrightarrow sinx\left(2cosx-3\right)+\left(cosx+1\right)\left(2cosx-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2cosx-3\right)\left(sinx+cosx+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=\dfrac{3}{2}\left(vn\right)\\sinx+cosx+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow...\)

b.

ĐKXĐ: \(cosx\ne\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ne\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x\ne-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{\left(2-\sqrt{3}\right)cosx-2sin^2\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)}{2cosx-1}=1\)

\(\Rightarrow\left(2-\sqrt{3}\right)cosx+cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=2cosx\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{3}cosx+sinx=0\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=0\)

\(\Rightarrow x-\dfrac{\pi}{3}=k\pi\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi\)

Kết hợp ĐKXĐ \(\Rightarrow x=\dfrac{4\pi}{3}+k2\pi\)

c.

\(2\sqrt{2}cos\left(\dfrac{5\pi}{12}-x\right)sinx=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)+sin\left(2x-\dfrac{5\pi}{12}\right)\right)=1\)

\(\Leftrightarrow sin\left(2x-\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow sin\left(2x-\dfrac{5\pi}{12}\right)=sin\left(-\dfrac{\pi}{12}\right)\)

\(\Leftrightarrow...\)

\(\sqrt{3}cosx+2sin^2\left(\dfrac{x}{2}-\pi\right)=1\) 

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}cosx+2sin^2\dfrac{x}{2}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}cosx-cosx=0\Leftrightarrow cosx=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) ( k thuộc Z )

Vậy ... 

22.

Nhận thấy \(cosx=0\) không phải nghiệm, chia 2 vế cho \(cos^2x\)

\(3tan^2x+2tanx-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}tanx=-1\\tanx=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=arctan\left(\dfrac{1}{3}\right)+k\pi\end{matrix}\right.\)

Nghiệm dương nhỏ nhất của pt là: \(x=arctan\left(\dfrac{1}{3}\right)\)

22. PT đã cho tương đương

3 - 4cos²x + 2 sinxcosx = 0

⇔ 3 - 2 - 2cos2x + sin2x = 0

⇔ 1 - 2cos2x + sin2x = 0

⇔ 1 + sin2x = 2cos2x

⇔ sin\(\dfrac{\pi}{2}\) + sin2x = 2cos2x

⇔ \(2sin\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right).cos\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)\) = 2cos2x

Do \(\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)+\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)=\dfrac{\pi}{2}\) 

⇒ \(sin\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)\)

Vậy sin²\(\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) = cos2x

Cái này là hiển nhiên ????

b.

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}\left(1-cos2x\right)-sin2x+m=0\)

\(\Leftrightarrow sin2x+\dfrac{3}{2}cos2x-\dfrac{3}{2}=m\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{13}}{2}\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}sin2x+\dfrac{3}{\sqrt{13}}cos2x\right)-\dfrac{3}{2}=m\)

Đặt \(\dfrac{2}{\sqrt{13}}=cosa\) với \(a\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{13}}{2}sin\left(2x+a\right)-\dfrac{3}{2}=m\)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

\(\dfrac{-\sqrt{13}-3}{2}\le m\le\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}\)

Lý thuyết đồ thị:

Phương trình \(f\left(x\right)=m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(f\left(x\right)_{min}\le m\le f\left(x\right)_{max}\)

Hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của pt lương giác bậc nhất (tùy bạn)

a.

\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(1-cos2x\right)+\dfrac{1}{2}sin2x=m\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}sin2x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=m\)

\(\Leftrightarrow sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=m\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi:

\(-1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\le m\le1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

c.

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cos2x+\left(m-1\right)sin2x-\left(m+1\right)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}cos2x\right)=m\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)sin2x-\left(m+2\right)cos2x=3m\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất, pt có nghiệm khi:

\(\left(2m-2\right)^2+\left(m+2\right)^2\ge9m^2\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-2\le0\)

\(\Leftrightarrow-2\le m\le\)

a) \(\sqrt{3}\left(\dfrac{1+cos2x}{2}\right)+\dfrac{1}{2}sin2x=m\) ↔ \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\dfrac{1}{2}sin2x=m-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 

→\(\sqrt{3}cos2x+sin2x=2m-\sqrt{3}\) ↔ \(2cos\left(\dfrac{\pi}{6}-2x\right)=2m-\sqrt{3}\)

→\(cos\left(\dfrac{\pi}{6}-2x\right)=m-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 

Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(-1\le m-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\le1\) 

b)  \(\left(3+m\right)sin^2x-2sinx.cosx+mcos^2x=0\)

 cosx=0→ sinx=0=> vô lý 

→ sinx#0 chia cả 2 vế của pt cho cos²x ta đc:

\(\left(3+m\right)tan^2x-2tanx+m=0\)

pt có nghiệm ⇔ △^' ≥0

Tự giải phần sau 

c) \(\left(1-m\right)sin^2x+2\left(m-1\right)sinx.cosx-\left(2m+1\right)cos^2x=0\) 

⇔cosx=0→sinx=0→ vô lý

⇒ cosx#0 chia cả 2 vế pt cho cos²x

\(\left(1-m\right)tan^2x+2\left(m-1\right)tanx-\left(2m+1\right)=0\)

pt có nghiệm khi và chỉ khi △^' ≥ 0

Tự giải

1. 

ĐKXĐ: \(x\ne k\pi\)

\(\Leftrightarrow\left(2cos2x-1\right)\left(sinx-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=\dfrac{1}{2}\\sinx=3>1\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\2x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\\x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi\end{matrix}\right.\)

2. Bạn kiểm tra lại đề, pt này về cơ bản ko giải được.

3.

ĐKXĐ: \(x\ne\dfrac{k\pi}{2}\)

\(\dfrac{3\left(sinx+\dfrac{sinx}{cosx}\right)}{\dfrac{sinx}{cosx}-sinx}-2cosx=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3\left(1+cosx\right)}{1-cosx}+2\left(1+cosx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1+cosx\right)\left(\dfrac{3}{1-cosx}+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=-1\left(loại\right)\\cosx=\dfrac{5}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy pt đã cho vô nghiệm

4.

\(\Leftrightarrow\left(sin^2x+cos^2x+2sinx.cosx\right)+\left(sinx+cosx\right)+\left(cos^2x-sin^2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)^2+\left(sinx+cosx\right)+\left(sinx+cosx\right)\left(cosx-sinx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left(sinx+cosx+1+cosx-sinx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\left(2cosx+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\\cosx=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\\x=-\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

1.

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}cos^2x-\sqrt{3}+cos^2x+\left(\sqrt{3}-1\right)sinx.cosx+sinx-cosx=0\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{3}sin^2x+cosx+\left(\sqrt{3}-1\right)sinx.cosx+sinx-cosx=0\)

\(\Leftrightarrow\left(cosx-sinx\right)\left(cosx+\sqrt{3}sinx\right)-\left(cosx-sinx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(cosx-sinx\right)\left(cosx+\sqrt{3}sinx-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx-cosx\right)\left(\frac{1}{2}cosx+\frac{\sqrt{3}}{2}sinx-\frac{1}{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{1}{2}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0\\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

2/

\(\Leftrightarrow3sinx-4sin^3x-\sqrt{3}cosx=2sinx\)

\(\Leftrightarrow4sin^3x-sinx+\sqrt{3}cosx=0\)

Nhận thấy \(cosx=0\) ko phải nghiệm, chia 2 vế cho \(cos^3x\)

\(\Leftrightarrow4tan^3x-tanx\left(1+tan^2x\right)+\sqrt{3}\left(1+tan^2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3tan^3x+\sqrt{3}tan^2x-tanx+\sqrt{3}=0\)

Bạn xem lại đề, pt bậc 3 này ko giải được (nghiệm rất xấu)

a) \(4sinx-1=1\Leftrightarrow4sinx=2\Leftrightarrow sinx=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=30^o\)

b) \(2\sqrt{3}-3tanx=\sqrt{3}\Leftrightarrow3tanx=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\Leftrightarrow tanx=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\Leftrightarrow x=30^o\)

c) \(7sinx-3cos\left(90^o-x\right)=2,5\Leftrightarrow7sinx-3sinx=2,5\Leftrightarrow4sinx=2,5\Leftrightarrow sinx=\dfrac{5}{8}\Leftrightarrow x=30^o41'\)

d)\(\left(2sin-\sqrt{2}\right)\left(4cos-5\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2sin-\sqrt{2}=0\\4cos-5=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2sin=\sqrt{2}\\4cos=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\cos=\dfrac{5}{4}\left(loai\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=45^o\)

Xin lỗi nãy đang làm thì bấm gửi, quên còn câu e, f nữa:"(

e) \(\dfrac{1}{cos^2x}-tanx=1\Leftrightarrow1+tan^2x-tanx-1=0\Leftrightarrow tan^2x-tanx=0\Leftrightarrow tanx\left(tanx-1\right)=0\Rightarrow tanx-1=0\Leftrightarrow tanx=1\Leftrightarrow x=45^o\)

f) \(cos^2x-3sin^2x=0,19\Leftrightarrow1-sin^2x-3sin^2x=0,19\Leftrightarrow1-4sin^2x=0,19\Leftrightarrow4sin^2x=0,81\Leftrightarrow sin^2x=\dfrac{81}{400}\Leftrightarrow sinx=\dfrac{9}{20}\Leftrightarrow x=26^o44'\)

.